Approximation des petits angles#

On considère le pendule simple de la figure ci-dessus, dont l’équation du mouvement libre s’écrit :

et qui dans le cas des petits angles se simplifie : $$\sin \theta \approx \theta \Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}+q\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+{\mathrm{\Omega }}^2\theta =0$$

où $\theta$ est l’angle que fait le pendule par rapport à la verticale, $\mathrm{\Omega }=\sqrt{g/l}$ est la pulsation propre et $q$ est le terme de frottement fluide. On utilisera par commodité la valeur suivante : $\mathrm{\Omega }=1$ $\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Résolvez cette équation linéarisée ($\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}+q\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+{\mathrm{\Omega }}^2\theta =0$) avec la méthode RK4 pour différentes valeurs de l’amortissement : $q=1$, $q=2$, $q=5{\mathrm{s}}^{-1}$ et tracez sur un même graphe l’évolution de $\theta (t)$ dans ces régimes respectivement pseudo-périodique, critique et apériodique.

On prendra comme conditions initiales $\theta (t=0)=10°$ (à convertir en radians) et $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}(t=0)=0$ et un pas de temps $\mathrm{d}t=0.05\mathrm{s}$ pour $t$ allant de $0$ à $20\mathrm{s}$.

Force d’excitation#

On ajoute maintenant une force d’excitation au pendule de sorte que l’équation du mouvement s’écrive :

Résolvez cette nouvelle équation avec la méthode RK4 pour une force excitatrice d’intensité $F_e=1\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ et de pulsation ${\mathrm{\Omega }}_e=\frac{2\mathrm{\Omega }}{3}$.

Tracez sur un même graphe la trajectoire dans l’espace des phase $(\theta ,\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t})$ pour le pendule libre ($q=0$ et $F_e=0$), amorti ($q=1$ et $F_e=0$), et amorti avec excitation ($q=1$ et $F_e=1$).

On prendra toujours comme conditions initiales $\theta (t=0)=10°$ (à convertir en radians) et $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}(t=0)=0$.

Commentez la forme des trajectoires que vous observez.

Mouvement chaotique#

Lorsque l’on ne fait plus l’hypothèse des petits angles ($\sin \theta \approx \theta$), on obtient une équation différentielle d’ordre 2 qui n’est pas linéaire : $$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}+q\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+{\mathrm{\Omega }}^2\sin \theta =F_e\sin ({\mathrm{\Omega }}_{e}t)$$

Pour certaines valeurs des paramètres physiques, le comportement du pendule sera chaotique. Afin d’illustrer ce comportement, on se placera dans les conditions suivantes : $\theta (t=0)=10°$ (à convertir en radians) et $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}(t=0)=0$, ${\mathrm{\Omega }}_e=2\mathrm{\Omega }/3$, $q=0.5{\mathrm{s}}^{-1}$.

Résolvez l’équation du mouvement non-linéaire avec la méthode RK4 pour les valeurs suivantes de l’amplitude d’excitation : $F_e=\{1.4,1.44,1.465,1.5\}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.

Tracez $\theta (t)$ sur un temps de $100\mathrm{s}$.

Ajoutez deux tests if dans la boucle après l’appel à rk4 pour maintenir l’angle $\theta$ dans l’intervalle $[-\pi ;\pi ]$.

Que constatez-vous au sujet de la période du pendule ? (Attention, périodique $\ne$ sinusoïdal…)

Dans le cas $F_e=1.5\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$, calculez l’évolution de $\theta (t)$ pour deux conditions initiales très proches l’une de l’autre : $\theta (t=0)=10°$ et $\theta (t=0)=9.999°$. Tracez la valeur absolue de la différence entre les deux solutions en fonctions du temps en échelle semi-logarithmique.